例：某次数学考试中，小组A与小组B的成员的乘机分别如下：

A：70,85,62,98,92　　
B：82,87,95,80,83

分别求出两组的平均分，并比较两组的成绩。

均值(mean)和平均值(average)的区别

• 均值(mean)是对恒定的真实值进行测量后，把测量偏离于真实值的所有值进行平均所得的结果；
• 平均值(average)是直接对一系列具有内部差异的数值进行的测量值进行的平均结果。

1. 均值是“观测值的平均”
2. 平均值是“统计量的平均”。

举个例子：
例如一个人的身高的真实值是180，但利用不同的仪器或者同一个仪器经过多次测量，有181，179，182，180等，把多次测量的这些所有数字进行平均，就是均值。

一个班级有30个学生，测量每个学生的身高，把这30个学生测量的30个身高数字进行平均，所得的结果就是平均值。

均值有一个真实值存在作为参考，而平均值没有一个真实值的存在，只是差异性的平均结果。

例：58，32，46，92，73，88，,23，22

1、先排序：23，32，46，58，73，88，92

2、找出处于中间位置的数：23，32，46，58，73，88，92

• 若处于中间位置的数据有两个（也就是数据的总个数为偶数时），中位数为
  假如有n个数据，

1. 当n为偶数时，中位数为 第n/2位数 和 第(n+2)/2位数 的平均数
2. 当n为奇数，那么中位数为 第（n+1）/2 得到的位置值，例子中为4，即58。

一组数据中，可能存在多个众数，也可能不存在众数。

1 2 2 3 3 中的众数是2和3

1 2 3 4 5 中没有众数

众数不仅适用于数值型数据，对于非数值型数据也同样适用。

{苹果，苹果，香蕉，橙，橙，橙，桃}，这一组数据，没有什么均值、中位数可言，但是存在着众数——橙。

方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差，记作S2。

1. 标准差（Standard Deviation） ，数学术语，是离均差平方的算术平均数（即：方差）的算术平方根，用σ表示。

2. 在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量依据。

3. ，标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据，标准差未必相同。

4. 标准差可以反映平均数不能反映出的东西（比如稳定度等）。
   求解方法：
   所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一，即变异数），再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。
   也就是 标准差 = 方差的算术平方根

• 协方差：度量两个随机变量关系的统计量 or 在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差
• 而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。
• 协方差物理意义：衡量两个随机变量的相关性

求协方差

cov（x,y） = EXY - EX * EY
例子：

E(X) = （1.1 + 1.9 + 3）/3 = 2
E(Y) = (5.0 + 10.4 + 14.6)/3 = 10
EXY(1.1 * 5.0 + 1.9 * 10.4 + 3 * 14.6) /3 =23.02
cov（x,y） = EXY - EX*EY
= 23.02- 2 *10
=3.02

标准分，是一种由原始分推导出来的相对地位量数，它是用来说明原始分在所属的那批分数中的相对位置的。
考生在接受测验后，按照评分标准对其作答反应直接评出来的分数，叫原始分。
原始分反映了考生答对题目的个数，或作答正确的程度。但是，原始分一般不能直接反映出考生间差异状况，不能刻划出考生相互比较后所处的地位，也不能说明考生在其他等值测试上应获得什么样的分值。

2. 多应用于统计学中的箱线图绘制。
3. 。

• 四分位数是通过3个点将全部数据等分为4部分，其中每部分包含25%的数据

分位数是将总体的全部数据按大小顺序排列后，处于各等分位置的变量值。

• 如果将全部数据分成相等的两部分，它就是中位数；
• 如果分成四等分，就是四分位数；
• 八等分就是八分位数等。
  四分位数也称为四分位点，它是将全部数据分成相等的四部分，其中每部分包括25%的数据，处在各分位点的数值就是四分位数。
  四分位数有三个，第一个四分位数就是通常所说的四分位数，称为下四分位数，第二个四分位数就是中位数，第三个四分位数称为上四分位数，分别用Q1、Q2、Q3表示 。

4. 第一四分位数 (Q1)，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。
5. 第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字。
6. 第三四分位数 (Q3)，又称“较大四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。
7. 第三四分位数与第一四分位数的差距又称四分位距（InterQuartile Range,IQR）。

实例

首先确定四分位数的位置：
n表示项数

• Q1的位置= (n+1) × 0.25
• Q2的位置= (n+1) × 0.5
• Q3的位置= (n+1) × 0.75

对于四分位数的确定，有不同的方法，另外一种方法基于N-1 基础。即

• Q1的位置=1+（n-1）x 0.25
• Q2的位置=1+（n-1）x 0.5
• Q3的位置=1+（n-1）x 0.75

四分位间距

Q3 - Q1 = 上四分位数 - 下四分位数

同比一般情况下是。同比发展速度主要是为了消除季节变动的影响，用以说明本期发展水平与同期发展水平对比而达到的相对发展速度。
如

1. 本期2月比同期2月，本期6月比同期6月等。

• 速度,其计算公式为：
• ,其计算公式为：
  在实际工作中，经常使用这个指标，如某年、某季、某月与同期对比计算的发展速度，就是同比发展速度。

1. 环比，统计学术语，是表示连续2个统计周期（比如连续两月）内的量的变化比。
2. 环比的发展速度是，表明现象逐期的发展速度。
   如计算一年内各月与前一个月对比，即2月比1月，3月比2月，4月比3月……12月比11月，说明逐月的发展程度。如分析抗击“非典”期间某些经济现象的发展趋势，环比比同比更说明问题。

分类

发展速度由于采用基期的不同，可分为同比发展速度、环比发展速度和定基发展速度。均用百分数或倍数表示。环比分为日环比、周环比、月环比和年环比

环比发展速度，一般指是指报告期水平与前一时期水平之比，表明现象逐期的发展速度。

概念

1. 「同比」

与历史「同时期］比较，例如2011年3月份与2010年3月份相比，叫「同比」。

2. 「环比」

与「上一个」统计周期比较，例如2011年4月份与2011年3月份相比较，称为「环比」。

3. 反映的都是「变化速度」，但由于采用「基期」的不同，其反映的内涵是完全不同的；

• 一般来说，环比可以与环比相比较，而不能拿「同比」与「环比」相比较；

• 而对于同一个地方，考虑时间纵向上发展趋势的反映，则往往要把「同比」与「环比」放在一起进行对照。

计算公式

1、本期「环比」增长（下降）率计算公式

• 环比分为日环比、周环比、月环比和年环比。

• 本期环比增长（下降）率(%) = (本期价格/上期价格 — 1 )× 100%

• （1）如果计算值为正值（+），则称增长率；如果计算值为负值（-），则称下降率。

• （2）如果本期指本日、本周、本月和本年，则上期相应指上日、上周、上月和上年。

2、本期同比增长（下降）率计算公式

• 本期同比增长（下降）率(%) = (本期价格/上年同期价格 —1) × 100%

• （1）如果计算值为正值（+），则称增长率；如果计算值为负值（-），则称下降率。

• （2）如果本期指本日、本周和本月，则上年同期相应指上年同日、上年同周和上年同月。

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